数字图像处理——理想滤波器与振铃特性

理想滤波器

频率域平滑锐化常用的几个滤波器的数学表达和实现都已经在数字图像处理——频率域平滑锐化图像常用滤波器一文中实现。

之前我们讨论到了振铃现象，本文中的实验主要是动手实现测试了 ILPF 对图片的模糊效果及其振铃现象，并且跟随课本尝试解释 ILPF 在空间域的振铃特性。

理想低通滤波器 ILPF

描述如下

\[ H_{ILPF}(u,v) = \left \{ \begin{aligned} 1, & D(u,v) \le D_0 \\ 0, & D(u,b) > D_0 \end{aligned} \right. \]

其中\(D_0\)是一个正常数，\(D(u,v)\)表示频率域中的点\((u,v)\)距离频率域中心\((\frac{P}{2},\frac{Q}{2})\)的距离。

理想高通滤波器 IHPF

描述如下

\[ H_{IHPF}(u,v) = \left \{ \begin{aligned} 0, & D(u,v) \le D_0 \\ 1, & D(u,b) > D_0 \end{aligned} \right. \]

代码实现

代码实现getIdealMask()也在数字图像处理——频率域平滑锐化图像常用滤波器给出，在此不再转述。

两组测试均为 100x100 大小，截至半径为 20 的低通和高通滤波器实验结果。

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使用一个 ILPF 平滑图像

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def getIdealFilterPassImg(input_img : np.array, filter_type : str , filter_d0, size = None):
    assert filter_type in ("lpf","hpf")
    # 内部进行填充 （mask大小与原图相等 进行2K-1的0填充）
    pad_img = getPaddingImg(input_img,input_img.shape,"corner")

    f_img = np.fft.fft2(input_img , s = size)
    shift_img = np.fft.fftshift(f_img)
    mask_shift_img = getIdealMask(f_img.shape,filter_d0,filter_type)
    new_shift_img = mask_shift_img*shift_img
    new_manitude_img = 20*np.log(np.abs(new_shift_img+eps))
    new_f_img = np.fft.ifftshift(new_shift_img)
    new_img = np.fft.ifft2(new_f_img)
    new_img = np.abs(new_img)

    # 内部进行裁剪
    new_img = cutOriginalImg(new_img, input_img.shape, "corner")
    return new_img,new_manitude_img,mask_shift_img

# 使用书上例子，cv库读取图像
original_img = cv2.imread('./DIP3E_Original_Images_CH04/Fig0441(a)(characters_test_pattern).tif',0)
# 设定截止半径
d_list = [10,30,60,160,460]

for d in d_list:
    smmoth_img,manitude_img,mask_img = getIdealFilterPassImg(original_img, "lpf" , d)
    showTwoImg(smmoth_img,manitude_img,f"Smooth Img with $D_0$ = {d}", f"Manitude with $D_0$ = {d}")
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振铃现象

由上图可以看出随着阈值增大，频谱中保留功率的增大，图像细节逐渐明晰，模糊效果越来越差。这说明我们的滤波器是成功的（不过这里与课本 P171 图比较会清晰一些，不清楚原因）

另外，我们也可以很明显的发现振铃现象，间隙处原本统一的纹理由于模糊变得有明暗起伏。而随着被滤去的高频内容的数量的减少，图像的纹理变得越来越好，甚至我们仔细看第三幅图，也能发现振铃现象的纹理，课本是这么评价振铃现象和 ILPF 的。

这种振铃现象是理想滤波器的一种特性，从这个例子我们可以清楚地看到，理想低通滤波器并不是非常实用。然而，作为滤波概念发展的一部分，研究这种滤波器的特性非常有用。

振铃现象的一些见解

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# 绘制空间域表示图和水平线灰度剖面图

for d in d_list:
    fre_mask=getIdealMask((688,688),d,"lpf")
    spa_mask=frequencyToSpatial(fre_mask)
    X = [i for i in range(spa_mask.shape[0])]
    Y = spa_mask[spa_mask.shape[0]//2]
    plt.figure(figsize=(8,4))
    ax1 = plt.subplot(121)
    ax2 = plt.subplot(122)
    ax1.set_title(f"Spatial Img with $D_0 = {d}$")
    ax2.set_title(f"Grayscale with $D_0 = {d}$")
    ax1.imshow(spa_mask,cmap = "gray")
    ax2.plot(X,Y)
    ax2.spines['left'].set_color('none')
    ax2.spines['top'].set_color('none')
    ax2.spines['right'].set_color('none')
    ax2.set_yticks([])
    ax2.set_yticklabels([])
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分别对应了上面的阈值，观察其滤波器的空间与表示，在\(D_0\)较小的时候有很明显的波动函数形状。

ILPF 的模糊和振铃特性可用卷积定理来解释。由于 ILPF 在频率域的剖面图类似于盒状滤波器，因此可以预料相应空间滤波器具有 sinc 函数形状。空间域滤波可通过\(h(x,y)\)于图像卷积来实现。讲图像中的每个像素想象为一个离散冲击，它的强度与所在位置的灰度成正比。一个 sinc 函数与一个冲激卷积就是在冲激处复制这个 sinc 函数。sinc 函数的中心波瓣是引起模糊的主因，而外侧较小的波瓣是造成振铃的主要原因。sinc 函数“展开度”与\(H(u,v)\)半径成反比，所以\(D_0\)越大，空间 sinc 函数就趋近于一个卷积时不会导致模糊但也不会产生振铃的冲激