希尔伯特规划与哥德尔不完备性定理

解决数学基础问题的第三种方案是与逻辑主义、直觉主义的方案相对立，但又是在它们方案的基础之上形成的，这就是被称作形式主义的希尔伯特学派的规划。它的基本思想是：试图用有限方法解决包含无限概念的古典数学的可靠性。

希尔伯特规划的形成有一个过程。

19 世纪末，希尔伯特完成了把欧式几何抽象地公理化的任务，并证明了欧式几何相对于分析（实数理论）的无矛盾性（即若实数理论是无矛盾的，欧式几何也是无矛盾的），

1900 年，在罗素悖论发现之前，希尔伯特在国际数学家大会上的著名问题表达中就已经把算术理论无矛盾性问题作为第二个问题提出，并指出该问题对分析基础的重要性。

罗素悖论出现以后，希尔伯特认识到：“想要避免悖论，那就必须在某种程度上同时进行对逻辑和算术定律的研究。”1904 年，他提出把数学证明本身作为数学研究对象，开始形成证明论思想。此后十多年内，他以敏锐的眼光注视着逻辑主义与集论公理化等方面研究所取得的进展，这些进展为证明论的最终形成准备了条件，特别是在他面前已有了日渐成熟的符号逻辑体系。

作为对直觉主义向古典数学挑战的直接回答，希尔伯特在 1922 年汉堡的一次会议上提出了他的证明论研究规划，被称作希尔伯特规划。按此规划，先将具体的数学理论与所用到的逻辑同时公理化，并形成形式系统。这种系统是一种形式语言，其中有一张选定的字母表（符号表），并规定了有效的语法规则，按规则能在有限步骤内机械地确定：

1. 任一字母串是否是一个语句（公式）
2. 任一语句是否是一条公理。
3. 任一篇该系统的文章（语句串）是否是一篇证明文章。

有了数学形式系统之后，按规划接着对系统进行“元数学”研究（即把具体形式系统作为对象对它们进行数学研究）。中心课题是要证明系统的无矛盾性：系统的任一语句及其否定二者不可能同时在该系统中可证。（后来还进一步提出要研究系统的完备性、可判定性等其他性质。完备性指系统的任一语句及其否定二者不可能在该系统中都不可证，可判定性指存在有效方法可用来在有限步骤内确定任一语句是否在该系统中可证。）按规划，很重要的是在元数学的研究中严格坚持有限性，不涉及任何实无限方法（这可让所有直觉主义者接受），而实无限对象作为“理想元素”进入形式系统中。

上述希尔伯特规划展示了一项激动人心的事业，其目标是“一劳永逸地消除任何对数学基础可靠性地怀疑”。除了希尔伯特与瑞士科学家贝尔奈斯，这项事业还吸引了一批青年数学家加入，如阿克曼与冯·诺伊曼等。一段时间内，他们的工作进展顺利。到了 1928 年，它们似乎已经证明了数论地无矛盾性，并且似乎离到达目的已为期不远了。当年，希尔伯特曾自信地断言：“利用这种新的数学基础——人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有地基础性问题。”希尔伯特不会想到他所规划的目标是达不到的。

1928 年 9 月 3 日，希尔伯特在波伦亚发表了关于数学基础的重要演说。在乐观地宣布（似乎已完成的）数论地无矛盾性证明之后，希尔伯特列出了亟待解决地四个问题：

问题 1 分析基本部分的无矛盾性。

问题 2 把问题 1 推广到高于二阶函项演算。

问题 3 数论与分析公理系统地完备性

问题 4 逻辑规则系统（指一阶逻辑）的完备性

非常值得人们尊敬和赞扬的希尔伯特，这位眼光深邃的伟大数学思想家，是他，把那个时代数学基础研究最核心的问题从混乱中分离出来，清楚明白地摆在人们面前。

这时，青年哥德尔出现了：他被希尔伯特引上了风口浪尖。1929 年，23 岁的哥德尔证明了一阶逻辑的完备性，攻克了希尔伯特的上述问题 4。第二年，他接着冲击分析的无矛盾性证明（即希尔伯特的上述问题 1）。开始，他是正面攻击。“令人惊讶，攻打问题 1 的一半居然就引导他相当轻松地制服了前三个问题，无一漏网，只是答案统统跟希尔伯特的期望相反......整个这项触目惊心的工作是在不到半年时间内做的”。

哥德尔的这项工作以他的不完备性定理著称于世。这“是整个数理逻辑史中最伟大的单项工作”，也是 20 世纪最杰出的划时代的数学成就之一。