简介

黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为 \(0.618\)。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割。

传说

在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达出来

数学公式

直接解

设\(x\)为黄金比，便有： \[\frac{1}{x} = \frac{x}{1-x}\] \[x^2 = 1-x\] \[x^2 + x - 1 = 0\] \[x_1 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}(舍),x_2 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\]

上述即为数值解，\(0.618\)只是一个近似，从数值表述易知该数为一个无理数，给出前 32 位是： \(0.6180339887 4989484820458683436565\)

无穷连分数

对刚才的数学公式做变形可以得到

\[x= \frac{1}{x+1}\] \[x = \frac{1}{ 1 + \frac{1}{x+1} }\]

\[x = \frac{1}{ 1 + \frac{1}{ 1+ \frac{1}{x+1}}}\]

数列逼近

经计算发现相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比。由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，而黄金分割是无理数，所以只是不断逼近黄金分割。

Python 验证: